Question

Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють 4см і 10 см, а кути при більшій основі 45° і 60°.

Answer 1

Ответ .

ABCD - трапеция ,  ∠АDC = 45° ,  ∠BAD=60°  ,  ВC=4 cм ,  AD=10 cм .

Найти S трапеции .

 Проведём перпендикуляры BK⊥AD , CH⊥AD .  Обозначим высоты трапеции через  h=ВК=СН .

BCHK - прямоугольник  ⇒  КН=4 см .

Обозначим  х=HD . Тогда ΔСDH - прямоугольный с ∠СDH=45° . Тогда и ∠DCH=45°   ⇒   ΔCDH - равнобедренный , СН=DH=x  , то есть  h=x  .

АК=AD-КН-DH   ⇒   AK=10-4-x=6-x  

Рассмотрим ΔАВК , ∠АКВ=90°  ∠ВАК=60°  .

tg∠BAK = BK/AK   ⇒   tg60° = h/(6-x)  ,  √3 = h/(6-x)  ,  h=(6-x)·√3  

Приравняем значения высоты :

(6-x)·√3 = х   ⇒   6√3 = х+х√3  ,  6√3 = х · (1+√3)  ,   х = 6√3 / (1+√3)  ,

х = 6√3 · (1-√3) /(1-3)  ,  х = 6√3 · (1-√3)/(-2)  ,  х = 6√3 · (√3-1)/2  ,

х =3√3 · (√3-1)  ⇒   h =3√3 · (√3-1) = 9 - 3√3  

Площадь трапеции равна  

S = (10+4)/2 · (9-3√3) = 7 · (9-3√3) = 63 - 21√3  (см²)  ≈  26,6 (см²)