Question

докажите, что функция
f(x)=sin(1/x)
не имеет предела в точке x=0​

Answer 1

Предположим, что $L=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$ конечно

Если $L > 0$, то существует $\delta > 0$ такое, что при $0 < |x| < \delta$

$|\frac{1}{x}-L| < L$, то есть $0 < \frac{1}{x} < 2L$. Противоречие, просто возьмем $-\delta < x < 0$. Аналогично, если $L < 0$

Мы можем взять только $L=0$. Тогда должно существовать $\delta > 0$ такое, что при $0 < |x| < \delta$ $\left | \frac{1}{x} \right | < 1$ очевидное противоречие

Это не может быть ни $\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=\infty$, ни $\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=-\infty$, поскольку $\frac{1}{x}$ принимает положительные и отрицательные значения в каждой проколотой окрестности $0$

Можно ли это обобщить? Не совсем. Например, чтобы показать отсутствие $\lim_{x\to0}\sin\frac{1}{x}$, проще всего показать, что предел должен быть в интервале $[-1,1]$, но что $\sin\frac{1}{x}$ принимает каждое значение в $[-1,1]$ в каждой проколотой окрестности $0$, так что это далеко не каждый возможный предел. Альтернативно существуют последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$, сходящиеся к $0$ такие, что $\lim_{n\to\infty}\sin\frac{1}{a_n}=0$ и $\lim_{n\to\infty}\sin\frac{1}{b_n}=1$

В качестве другого примера, $\lim_{x\to0}e^{1/x}$ не существует, потому что односторонние пределы разные: слева это $0$, справа это $\infty$