В коробке 71 шарик. Ему разрешается вынимать из коробки ровно 30 шариков или возвращать в нее ровно 18 шариков. Тому разрешено применять каждую операцию столько раз, сколько он пожелает. Какое наименьшее количество шариков может остаться в коробке?
Ответы
Рассмотрим последовательность операций, которые можно применить для нахождения наименьшего количества шариков, которое может остаться в коробке:
Вынимаем 30 шариков: остается 71 - 30 = 41 шарик.
Вынимаем еще 30 шариков: остается 41 - 30 = 11 шарик.
Возвращаем 18 шариков: остается 11 + 18 = 29 шариков.
Таким образом, наименьшее количество шариков, которое может остаться в коробке после применения операций, равно 29 шариков.
Ответ: Наименьшее возможное количество шариков это 5. Можно получить 4 раза убрав по 30 и 3 раза добавив по 18
Пошаговое объяснение:
1. Нельзя добиться чтобы шариков не осталось.
Доказательство :
Было 71 шарик - нечетное число.
Если от нечетного числа отнять четное, то всегда получим нечетное.
Если к нечетному числу прибавить четное, то все равно останется нечетное.
Таким образом Том может повторять любую из разрешенных операций сколько угодно раз, но останется нечетное число шариков. Число 0 является четным. Значит добиться чтобы шариков не осталось нельзя.
2. Покажем, что добиться, чтобы остался только 1 шарик тоже нельзя . Чтобы остался 1 , нужно убрать 70.
Предположим, что Том х раз вынимает шарики , а у раз возвращает
Тогда имеем уравнение 70-30*x+18y=0 => 30x-18y=70
левая часть уравнения делится на 3, но правая (70) на 3 не делится.
Значит уравнение в целых числах решения не имеет.
=> 1 Шарик остаться не может.
3. 2 Шарика остаться также не могут по той же причине, что и 0.
2 число четное, но при всех разрешенных операциях должно остаться нечетное число шариков.
4. 3 шарика также остаться не могут. Для этого нужно убрать 68 шариков
Тогда 30х-18y=68
левая часть уравнения делится на 3, но правая (68) на 3 не делится.
Значит уравнение в целых числах решения не имеет.
=> 3 Шарика остаться не может.
5. 4 шарика не могут остаться по ой же причине, что 0 и 2.
6. Рассмотрим остаток 5 шариков. Для этого нужно убрать 66 шариков
30х-18y=66
=> 3у-5х=11
целое решения : Например y=3 x=4
Проверяем 30*4-18*3=66 - верное равенство
Наименьшее возможное количество шариков это 5. Можно получить 4 раза убрав по 30 и 3 раза добавив по 18