Question

При каких a уравнение:
2cos²(2^(3x-x²)) = a+√3sin(2^(3x-x²+1))
имеет хотя бы одно решение?
Необходим ответ с решением

Answer 1

Ответ:

-1≤a≤3

Пошаговое объяснение:

$2cos^{2}( {2}^{3x - {x}^{2} } ) = a + \sqrt{3} sin( {2}^{3x - {x}^{2} + 1} ) \\ t = {2}^{3x - {x}^{2} } \\ 2 {cos}^{2} t = a + \sqrt{3} sin2t \\ 1 + cos2t - \sqrt{3} sin2t = a \\ \frac{1}{2 } cos2t - \frac{ \sqrt{3} }{2} sin2t = \frac{a - 1}{2} \\ sin( \frac{\pi}{6} - 2t) = \frac{a - 1}{2}$

При каких "а" найдётся решение для t: так как область значений для синуса [-1;1]:

$- 1\leqslant \frac{a - 1}{2} \leqslant 1 \\ - 2 \leqslant a - 1 \leqslant 2 \\ - 1\leqslant a \leqslant 3$

Область значений t:

${2}^{ \frac{9}{4} } \geqslant {2}^{3x - {x}^{2} } > 0$

При каких t найдётся решение x: промежуток вот такой длины больше периода для корня t(в данном случае π), следовательно в любом случае найдётся такой t, который попадёт в промежуток.