Question

Хочу спросить можно ли каким то образом перевести этот логарифм в нормальное число без калькулятора. На картинке объяснены все шаги кроме последнего типо как они log10(5) перевели в число что ниже?

Answer 1

Все калькуляторы, когда им даёшь вычислить подобные выражения, использую ряды Тейлора

$\ln (1+x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\ldots$

Выше я написал стандартное разложение натурального логарифма в нуле, где $|x| < 1$. Важно понимать, что у нас не основание $e$, а $10$, значит нужно другое разложение? На самом деле нет!

Мы переведём к новому основанию и разложим логарифм в ряд Тейлора, то есть

$\log_{10}5=\frac{\ln 5}{\ln 10}$

И вот чтобы нам получить приблизительное значения числа $\log_{10}5$, нужно разложить два логарифма в ряд

Очень важно! Чем больше вы слагаемых берёте в разложении функции, тем точнее у вас будет результат!