Question

Даю 100 баллов. Розв’язати рівняння Бернуллі

Answer 1

$y'-\mathrm{tg}\left(x\right)\,y=-\cos\left(x\right)\,{y}^{2}$

Данное уравнение - это уравнение Бернулли. Поделим всё на $y^2$ и сделаем замену

$\dfrac{y'}{{y}^{2}}-\dfrac{\mathrm{tg}\left(x\right)}{y}=-\cos\left(x\right)$

Замена

$u=\frac{1}{y}\Rightarrow u'=-\frac{y'}{y^2}; \; y=\frac{1}{u}\Rightarrow y'=-u'y^2$

Тогда, наше уравнение можно переписать

$-u'-u\,\mathrm{tg}\left(x\right)=-\cos\left(x\right)\Leftrightarrow u'+u\,\mathrm{tg}\left(x\right)=\cos\left(x\right)$

Снова делаем замену $u=tv, u'=tv'+t'v$, тогда

$t\,v'+t'\,v+t\,v\,\mathrm{tg}\left(x\right)=\cos\left(x\right)\Leftrightarrow t\,v'+v\,\left({t'+t\,\mathrm{tg}\left(x\right)}\right)=\cos\left(x\right)$

Решаем первое уравнение

$t'+t\,\mathrm{tg}\left(x\right)=0\Leftrightarrow \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=-t\,\mathrm{tg}\left(x\right)\Leftrightarrow \dfrac{\mathrm{d}t}{t}=-\mathrm{tg}\left(x\right)\,\mathrm{d}x\Rightarrow \\\Rightarrow \int{\dfrac{1}{t}}{\;\mathrm{d}t}=\int{-\mathrm{tg}\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\Rightarrow \ln\left(t\right)=\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\Rightarrow t=\cos\left(x\right)$

Решаем второе уравнение

$v'\,\cos\left(x\right)=\cos\left(x\right)\Leftrightarrow v'=1\Rightarrow v=x+C$

Делаем обратную замену

$u=\left(x+C\right)\,\cos\left(x\right)\Rightarrow \dfrac{1}{y}=x\,\cos\left(x\right)+C\,\cos\left(x\right)\Rightarrow y=\dfrac{1}{\left(x+C\right)\,\cos\left(x\right)}$