Question

Даю 100 баллов. Розв’язати диференціальне рівняння

Answer 1

Ответ:

Решить ЛНДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами .  

( ЛНДУ - линейное неоднородное диффер. уравнение ) .

$\bf y''+4y'+5y=5x^2+32\\\\a)\ \ y''+4y'+5y=0\ \ \Rightarrow \ \ \ k^2+4k+5=0\ \ ,\ \ D/4=2^2-5=-1\ ,$

$\boldsymbol{k_{1,2}=-2}\pm i$                

Общее решение ЛОДУ 2 пор. :  $\bf y_{oo}=e^{2x}\, (C_1cosx+C_2\, sinx)$  .

По виду правой части уравнения запишем вид частного решения ЛНДУ 2 пор.

$\bf \widetilde{y}=Ax^2+Bx+C\\\\ \widetilde{y}'=2Ax+B\\\\ \widetilde{y}''=2A\\\\ \widetilde{y}''+4 \widetilde{y}'+5 \widetilde{y}=2A+4\, (2Ax+B)+5\, (Ax^2+Bx+C)=5x^2+32x$  

Найдём коэффициенты с помощью метода неопределённых коэффициентов .

$\bf 5Ax^2+(8A+5B)\, x+(2A+4B+5C)=5x^2+32x\\\\x^2\ |\ 5A=5\ \ \ ,\ \ \ A=1\\\\x^1\ |\ 8A+5B=32\ \ ,\ \ 8+5B=32\ \ ,\ \ 5B=24\ \ ,\ \ B=4,8\\\\x^0\ |\ 2A+4B+5C=0\ \ ,\ \ 2+19,2+5C=0\ \ ,\ \ 5C=-21,2\ ,\ C=-4,24$

Запишем частное решение ЛНДУ 2 пор. :

$\bf \widetilde{y}=x^2+4,8x-4,24$  

Общее решение ЛНДУ 2 пор. :

$\bf y=y_{oo}+ \widetilde{y}=e^{2x}\, (C_1\, cosx+C_2\, sinx)+x^2+4,8x-4,24$    

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение решается довольно просто через преобразование Лапласа

$\mathcal{L}\left \{ \frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} x^2}+4\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} +5y\right \}=\mathcal{L}\left \{ 5x^2+32x \right \}\\\mathcal{L}\left \{ \frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} x^2} \right \}+4\mathcal{L}\left \{ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right \}+5\mathcal{L}\left \{ y \right \}=5\mathcal{L}\left \{ x^2 \right \}+32\mathcal{L}\left \{ x \right \}$

$s^2\mathcal{L}\left \{ y \right \}-sy(0)-y'(0)+4\left \{ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right \}+5\mathcal{L}\left \{ y \right \}=5\mathcal{L}\left \{ x^2 \right \}+32\mathcal{L}\left \{ x \right \}$

$y(0) и y'(0)$ - это константы, мы пока их оставим, мало ли сократятся

$s^2\mathcal{L}\left \{ y \right \}+5\mathcal{L}\left \{ y \right \}+4\left ( s\mathcal{L}\left \{ y \right \} -y(0)\right )-sy(0)-y'(0)=\frac{10}{s^3}+32\frac{1}{s^2}$

$\mathcal{L}\left \{ y \right \}=\frac{32s+(4y(0)+y'(0))s^3+y(0)s^4+10}{s^3\left ( s^2+4s+5 \right )}$

$\mathcal{L}\left \{ y \right \}=\frac{2}{s^3}+\frac{24}{5s^3}-\frac{106}{25s}+\frac{304}{25\left ( s^2+4s+5 \right )}+\frac{106}{25\left ( s^2+4s+5 \right )}+\frac{4y(0)}{s^2+4s+5}+\frac{sy(0)}{s^2+4s+5}+\frac{y'(0)}{s^2+4s+5}$

Теперь нам нужно найти обратное преобразование лапала этого выражения

$\mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{2}{s^3} \right \}=x^2, \; \mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{24}{5s^2} \right \}=\frac{24x}{5}, \; \mathcal{L}^{-1}\left \{ -\frac{105}{25s} \right \}=-\frac{106}{25}$

$\mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{92}{25(s+1)^2+25} \right \}=\frac{92}{25}e^{-2x}\sin x, \; \mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{106(s+2)}{25(s+2)^2+25} \right \}=\frac{106}{25}e^{-2x}\cos x$

$\mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{2y(0)}{(s+2)^2+1} \right \}=2e^{-2x}y(0)\sin x, \; \mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{(s+1)y(0)}{(s+2)^2+1} \right \}=e^{-2x}y(0)\cos x, \\\mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{y'(0)}{(s+2)^2+1} \right \}=e^{-2x}y'(0)\sin x$

Теперь мы получаем решение

$y=x^2+\frac{24}{5}x+\frac{106}{25}e^{-2x}\cos +\frac{92}{25}e^{-2x}\sin x+y(0)e^{-2x}\cos x+\\+2y'(0)e^{-2x}\sin x+y'(0)e^{-2x}\sin x-\frac{106}{25}$