Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

Данный ряд представляет собой частный случай специальной функции полилогарифма, который обозначается $\mathrm{Li}_s(x)$. Чтобы проверить ряд на сходимость, мы можем использовать разные признаки или попробовать вычислить его, ибо если мы смогли вычислить и получить значение суммы, значит сумма сходится. Так как нас не спрашивают про условную и абсолютную сходимость, то попробуем вычислить его

Полилогарифм можно представить виде ряда, то есть

$\mathrm{Li}_s(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty }\frac{x^k}{k^s}$

Заметим, что в нашем случае $s=-1/2$. тогда

$\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n}}{2^n}=\mathrm{Li}_{-\frac{1}{2}}\left ( \frac{1}{2} \right )$

Так как мы нашли чему равна сумма, то ряд сходится