Question

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой 14 см. Какую длину должны иметь катеты чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Answer 1

Ответ:  При  двух равных катетах ,  величина которых равна   7√2 см ,  площадь треугольника будет наибольшей

Пошаговое объяснение:

Из неравенства Коши , для неотрицательных чисел x,y верно  

$x+y\geqslant 2\sqrt{xy}$

Если возвести обе части в квадрат , то

$(x+y)^2 \geqslant 4xy \\\\ x^2+y^2 \geqslant 2xy$

Равенство выполняется когда  x = y , и только в данном случае правая часть неравенства будет принимать максимальное значение

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c² = a² + b² = 14² , а  площадь  вычисляется  по формуле

$S = \dfrac{1}{2}ab$

Как раз таки у нас выходит неравенство Коши

$a^2+b^2 \geqslant 2ab ~ | :4 \\\\ \dfrac{a^2+b^2}{4} \geqslant \dfrac{ab}{2}$

Подставим  a² + b² = 14² ,  максимальное значение  будет достигаться в случае a = b

$\dfrac{14^2}{4} \geqslant \dfrac{ab}{2} \\\\ \dfrac{ab}{2} = 49 \\\\ \dfrac{a\cdot a}{2} = 49 \\\\ a^2 = 7^2 \cdot 2 \\\\ a = b =7\sqrt{2}$

#SPJ1

Answer 2

Спосіб стандартний;похідна.