Question

Сравните числа…………….

Answer 1

1. Тут мы воспользуемся известным неравенством

$\sqrt{x_1+x_2+...+x_n} \le \sqrt x_1 +\sqrt x_2 + ... + \sqrt x_n$

Докажем его

$\sqrt{x_1+...+x_n} \leq \sqrt{x_1+...+x_n+2(\sqrt{x_1x_2}+\sqrt{x_1x_2}+..+\sqrt{x_{n-1}x_n})}=\\=\sqrt{\left(\sqrt{x_1}+...+\sqrt{x_n}\right)^2}$

Для нашего случая

$\forall a,b\in\mathbb{R}_+ \ \ \sqrt{a+b} \le \sqrt a + \sqrt b , \forall a,b \in \mathbb R_+$

То есть $\sqrt{14}=\sqrt{6+8}\leq \sqrt{6}+\sqrt{8}$

2. Правая часть больше

$\left (7-\sqrt{2} \; \vee \; 5+\sqrt{2} \right )\Leftrightarrow \left (7-5 \; \vee \; \sqrt{2}+\sqrt{2} \right )\Leftrightarrow \left (2 \; \vee \; 2\sqrt{2} \right )\Leftrightarrow \left (4 \; \vee \; 8 \right )$

3. Правая часть больше

$\sqrt{9} < \sqrt{15} < \sqrt{16}\Rightarrow 3 < \sqrt{15} < 4\Rightarrow \sqrt{15}\approx 3,8\Rightarrow \sqrt{15}-2\approx 1,8\\\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}\Rightarrow 1 < \sqrt{3} < 2\Rightarrow \sqrt{3}\approx 1,7\Rightarrow \sqrt{3}+2\approx 2,7$

Приблизительное значение корней зависит от того, как близко они стоят к граничной точке, чем ближе, тем больше десятая часть. Для более точных результатов принято пользоваться рядами Тейлора

4. Левая часть больше

$\sqrt{20}-\sqrt{5}= 2\cdot \sqrt{5}-\sqrt{5}= \sqrt{5}\left ( 2-1 \right )=\sqrt{5}\\\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{3} < \ldots < \sqrt{5} < \ldots < \sqrt{10}$