Question

∫1/2+3cos^2(x) dx Чтобы ответ был 1/√10 arctg (√2/5tg x) + c С пошаговым решением подробно и точно с теоретически обьяснением​

Answer 1

Сначала делаем замену $\mathrm{tg}(x)=u\Rightarrow du=\frac{1}{\cos^2x}dx$, после получаем, что

$\int{\dfrac{1}{3\,\cos^{2}\left(x\right)+2}}{\;\mathrm{d}x}=\int{\dfrac{1}{2\,{u}^{2}+5}}{\;\mathrm{d}u}$

Снова делаем замену $v=\frac{\sqrt{2}u}{\sqrt{5}}\Rightarrow \mathrm{d}u=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\mathrm{d}v$, после получаем, что

$\int{\dfrac{1}{2\,{u}^{2}+5}}{\;\mathrm{d}u}=\int{\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}\,\left(5\,{v}^{2}+5\right)}}{\;\mathrm{d}v}$

Вынесем пять из знаменателя и получи табличный интеграл

$\int{\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}\,\left(5\,{v}^{2}+5\right)}}{\;\mathrm{d}v}=\int{\dfrac{1}{\sqrt{10}\,\left({v}^{2}+1\right)}}{\;\mathrm{d}v}$

Тогда наш интеграл равен

$\dfrac{1}{\sqrt{10}}\cdot\mathrm{arctg} \; v+C$

Делаем обратную замену

$\dfrac{1}{\sqrt{10}}\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}\,u}{\sqrt{5}}\right)+C=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}\,\mathrm{tg}\left(x\right)}{\sqrt{5}}\right)$