Question

найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции
$f(x) = \frac{ {x}^{3} }{12 + {x}^{2} }$
​

Answer 1

Чтобы найти точки перегиба, а после уже и интервалы выпуклости и вогнутости, нам нужно взять вторую производную, приравнять к нулю и определить знаки на интервалах

$f(x)=\frac{x^3}{x^2+12}\Rightarrow f'(x)=\frac{\left({x}^{3}\right)'\cdot \left({x}^{2}+12\right)-\left({x}^{2}+12\right)'\cdot {x}^{3}}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}}=\dfrac{3\,{x}^{2}\,\left({x}^{2}+12\right)-2\,{x}^{4}}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}}$

$f''(x)=\left(\dfrac{3\,{x}^{2}}{{x}^{2}+12}-\dfrac{2\,{x}^{4}}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}}\right)'=\\=3\cdot \frac{\left({x}^{2}\right)'\cdot \left({x}^{2}+12\right)-\left({x}^{2}+12\right)'\cdot {x}^{2}}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}}-2\cdot \frac{\left({x}^{4}\right)'\cdot \left({{x}^{2}+12}\right)^{2}-\left(\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}\right)'\cdot {x}^{4}}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{4}}=$$\\=\dfrac{3\,\left(2\,x\,\left({x}^{2}+12\right)-2\,{x}^{3}\right)}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}}-\dfrac{2\,\left(4\,{x}^{3}\,\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}-4\,{x}^{5}\,\left({x}^{2}+12\right)\right)}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{4}}=\\=\frac{2x^3}{\left ( 12+x^2 \right )^2}-4x^3\cdot \frac{x^2+36}{\left ( 12+x^2 \right )^3}+2x\cdot \frac{x^2+36}{\left ( 12+x^2 \right )^2}=24x\cdot \frac{36-x^2}{\left ( 12+x^2 \right )^3}$

$f''(x)=0\Rightarrow 24x\cdot \frac{36-x^2}{\left ( 12+x^2 \right )^3}=0\Leftrightarrow 24x\left ( 36-x^2 \right )=0\Rightarrow x=\left \{ 0,\pm 6 \right \}$

Мы всё подставляем во вторую производную!

Если подставить $-1000$, то получим положительное число, значит функция на $(-\infty ,-6)$ вогнутая

Если подставить $1000$, то получим отрицательное число, значит функция на $(6,\infty$) выпукла

Если подставить $1$, то получим положительное число, значит функция на $(0,6)$ вогнута

Если подставить $-1$, то получим отрицательное число, значит функция на $(-6,0)$ выпукла