Question

От точки, расположенную на расстоянии 6 см от центра круга, проведены две касательные. Расстояние между точек касания равен 3 см. Найдите радиус круга??​

Answer 1

Ответ:

$\frac{3\sqrt{6} +3\sqrt{2} }{2}$

Объяснение:

Пусть две касательные были проведены с точки C, точки касания A и В, окружность с центром О, тогда АВ=3, ОС=6.

1) OACB-дельтоид, следоватльно угол между диагоналями прямой, а точка их пересечения(пусть Н) будет делить одну из диагоналей пополам(в данном случае AH=HB=1,5)

2) угол ОBC-прямой(радиус к касательной). Если угол OCB обозначить за 90-α, угол СОВ=α, а радиус за r, то можно составить такую систему(равенства взяты из треугольников ОСВ и ОНВ, углы острые) :

$\left \{ {{\frac{r}{cos\alpha } =6} \atop {rsin\alpha =1,5}} \right. = > sin\alpha cos\alpha =\frac{1}{2} sin2\alpha =\frac{1}{4} = > 2\alpha =\frac{\pi }{6} = > \alpha =\frac{\pi }{12} \\\\r=6cos\alpha =6cos\frac{\pi }{12} =6cos(\frac{\pi }{4} -\frac{\pi }{3})=6(\frac{\sqrt{2} }{2} *\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{\sqrt{2} }{2} *\frac{1}{2} )=\frac{3\sqrt{6} +3\sqrt{2} }{2}$