Question

К графику функции y=f(x) проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой a=-1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции.
$f(x)=\frac{3}{x+2}$

Answer 1

Для начала найдём производную функции, подставим нашу функцию и найдём касательную

$f(x)=\cfrac{3}{x+2}\Rightarrow f'(x)=-3\cdot \cfrac{\left(x+2\right)'}{\left({x+2}\right)^{2}}=-\cfrac{3}{\left({x+2}\right)^{2}}\\f'(-1)=-\cfrac{3}{(-1+2)^2}=-3$

Значит касательная к графику будет равна

$y=f'(-1)(x+1)+f(-1)=-3x$

Но так как они параллельны, то найдём её следующим образом $f'(-1)=f'(z)$, где $z$ - наша вторая точка касания

$-3=-\frac{3}{(z+2)^2}\Leftrightarrow (z+2)^2=1\Rightarrow z=\left \{ -3,-1 \right \}$

Точка $-1$ у нас уже есть, значит $-3$ - вторая точка касания

Answer 2

Ответ:

 -3

Уравнение касательной к графику y=f(x) в точке a имеет вид

$y = f(a) + f'(a) (x - a)$

$f'(x) = \left( \dfrac{3}{x+2}\right)' = - \dfrac{3}{( x + 2) ^2}$

отсюда уравнение касательной в точке a = -1

$y = \dfrac{3}{-1 + 2} + \left( - \dfrac{3}{(-1 + 2) ^ 2}\right) \cdot (x - (-1)) =3 + (-3) \cdot (x + 1) = -3x$

$f'(-1) = f'(b)\\\\-3 = - \dfrac{3}{(b + 2) ^ 2}\\\\(b + 2) ^ 2 = 1\\\\\left \{ {{b + 2 = 1} \atop {b + 2 = -1}} \right. \\\\\left \{ {{b=-1} \atop {b=-3}} \right.$