Question

Привести пример последовательности {xn} и {yn} таких, что
lim(n→∞) ⁡xn=lim(n→∞) ⁡yn =0 и:
lim(n→∞)⁡ xn/yn=1

Answer 1

$x_n = \frac{1}{n^2 + n}, \; y_n = \frac{1}{n^2 + 2n}$

Так как знаменатель растёт быстрее числителя, то пределы равны 0

$\lim\limits_{n\to \infty }\frac{1}{n^2+n}=\lim\limits_{n\to \infty }\frac{1}{n^2+2n}=0$

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n}{n^2 + n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1 + \frac 2n}{1 + \frac 1n} = 1$