Question

найдите область определения и область значений функции заданной формулой

Answer 1

Ответ:

внизу

Пошаговое объяснение:

Область определения функции это просто одз.

В нашем случае подкоренное выражение неотрицательно:

x-x^2>=0

x(1-x)>=0

------------0++++++1 ----------

------------.------------.-----------

(Надеюсь, что вы могёте в метод интервалов).

В итоге область определение это отрезок [0; 1].

Область значений функции это все возможные игреки (простите).

Корешок всегда даёт неотрицательные значения. Найдём максимум функции, параболла имеет коф. а < 0, следовательно максимум достигается в вершине параболлы -b/2a = -1 /-2 = 1/2.

Подставим в функцию и получим sqrt(1/2-1/4) = 1/2 - max(f(x)).

Исходя из этого наш ответ [0; 1/2].

Answer 2

Нам дана функция с корнем. Как мы знаем, корень чего-либо не может быть отрицательным, то есть нет такого действительного числа, при возведении в квадрат будет отрицательное число. То есть, нам нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным

$x-x^2\geq 0\Leftrightarrow x^2-x\leq 0\Leftrightarrow x(x-1)\leq 0\Rightarrow x\in [0,1]$

Область значения определяется ещё проще. В ЕГЭ есть задание под номером 12, где нужно найти минимум и максимум функции, так вот, в некоторых моментах там не нужна производная. У нас под корнем неполный трёхчлен, ветви которого направлены вниз, а значит нам достаточно найти вершину параболы - это и будет максимум

$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=\frac{1}{2}$

А значит область значения функции $y\leq \frac{1}{2}$, но так же не будем забывать, что корень не может равняться отрицательному число, то есть ниже нуля наша функция не опустится, а в нуле она существует, тогда $y\in \left [ 0,\frac{1}{2} \right ]$