Question

При каких значениях $\alpha$ функция

$y=\left \{ {{|x|^{\alpha }sin\frac{1}{x},\ x\neq0 } \atop {0, \ x=0}} \right.$

в точке х0=0 имеет производную

Answer 1

$\exists f'(0)\Leftrightarrow \exists \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\infty$ только если существует конечный предел из $\underset{{}}{\mathop{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \frac{{\left| x \right|}^{\alpha }}\sin \frac{1}{x}{x}}}\,=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left| x \right|}^{\alpha -1}}\sin \frac{1}{x}=0$, следовательно $\alpha > 1$