Question

Пусть
$a \ \textgreater \ 0 , x_1=\sqrt{a} , x_n_+_1=\sqrt{a+x_n}$ n принадлежит N
Доказать,что существует $\lim_{n \to \infty} x_n$ ,и найти его

Answer 1

Объяснение:

$x_2= \sqrt{a+x_1} = \sqrt{a+ \sqrt{a} } \\ x_3= \sqrt{a+x_2} = \sqrt{a+ \sqrt{a+ \sqrt{a} } }$

Предельный элемент последовательности:

$x_n= \sqrt{a+ \sqrt{a+ \sqrt{a...} } } = \sqrt{a+x_n} \\ x_n ^{2} =a+x_n \\ x_n= \frac{1+ \sqrt{1+4a} }{2}$

Это и есть предел.(Отрицательное значение не подходит: корень не может быть равен отрицательному числу)

Answer 2

Пусть $L=\frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$. Легко видеть, что $x_n\in[\sqrt{a},L)$ для всех $n$ и $x_{n+1} > x_n$. Отсюда следует, что $\{x_n\}$ ограничено и строго возрастает, поэтому стремится к пределу $X$. Решение уравнения $X=\sqrt{X+a}$ дает нам $X=L$