Question

cos⁵(π/2 - 2x) + cos⁴2x = 1
сумма корней уравнения на промежутке [0;π]

Answer 1

Пошаговое объяснение:

${cos}^{5} ( \frac{\pi}{2} - 2x) = {sin}^{5} 2x \\ a = sin2x, b=cos2x, {a}^{2} + {b}^{2} =1 \\ {a}^{5} + {b}^{4} =1= {a}^{2} + {b}^{2} \\ {a}^{2} ( {a}^{3} -1)+ {b}^{2} ( {b}^{2} -1)= {a}^{2} (a-1)( {a}^{2} +a+1)- {a}^{2} {b}^{2} =0 \\ {b}^{2} =1- {a}^{2}=(1+a)(1-a) \\ {a}^{2} (( {a}-1)( {a}^{2} +a+1)+ (1+a )(a-1))= {a}^{2} (a-1)( {a}^{2} +2a+2) =0\\ a=1;a=0 \\ sin2x=1 \\ x= \frac{\pi}{4} +\pi k \\ sin2x=0 \\ x= \frac{\pi k}{2}$

Сумма корней на отрезке:

$\frac{\pi}{2} + \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4}$