Question

Доказать что при каждом n ∈ N верны равенства :
$a) 1*2+2*5+...+n*(3n-1)= n^2(n+1)$
$b)1*2^2+2*3^2+...+(n+1)*n^2=\frac{n(n^2-1)(3n+2)}{12}$

Answer 1

Первое задание

При $n=1$ всё работает $1\cdot 2=2=1^2(1+1)=2$

Пусть $n=i+1$, тогда

$i^2(u+1)+(i+1)(3(i+1)-1)=(i+1)\left ( i^2+3i+2 \right )=\\=(i+1)(i+2)(i+1)=(i+1)^2(i+2)=(i+1)^2((i+1)+1)$

Второе задание

$\sum_{n=1}^{k}n^2(n+1)=\sum_{n=1}^{k}\left (n^3+n^2 \right )=\sum_{n=1}^{k}n^3+\sum_{n=1}^{k}n^2$$\frac{k^3(k+1)^2}{4}+\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}=\frac{k(k+1)\left ( 3k^2+7k+2 \right )}{12}$