Question

3 ^ ((x + 3)/3)) - 13 * 3 ^ (x/6) + 4 <= 0

Answer 1

Ответ:

$x\in \left[-6;12log_3 2 \right]$

Объяснение:

$3^{\frac{x+3}{3}}-13\cdot3^{\frac{x}{6}}+4\le0$

$3^{\frac{x}{3}+1}-13\cdot3^{\frac{x}{6}}+4\le0$

$3\cdot 3^{\frac{x}{3}}-13\cdot 3^{\frac{x}{6}}+4\le0$

$3\cdot 3^{2\cdot \frac{x}{6}}-13\cdot 3^{\frac{x}{6}}+4\le0$

$3\cdot \left( 3^{ \frac{x}{6}}\right)^2-13\cdot 3^{\frac{x}{6}}+4\le0$

$3^{\frac{x}{6}}=t,\ t > 0$

$3t^2-13t+4 \le 0$

$D=(-13)^2-4\cdot3\cdot4=169-48=121$

$\sqrt{D}=\sqrt{121}=11$

$t_1=\frac{13-11}{2\cdot3}=\frac{1}{3}$

$t_2=\frac{13+11}{2\cdot3}=4$

$t\in \left[\frac{1}{3};4 \right]$

$3^{\frac{x}{6}}\in \left[\frac{1}{3};4 \right]$

$\begin{cases}3^{\frac{x}{6}} \ge \frac{1}{3}\\3^{\frac{x}{6}} \le 4 \end{cases}$

$\begin{cases}3^{\frac{x}{6}} \ge 3^{-1}\\ lg3^{\frac{x}{6}} \le lg 4 \end{cases}$

$\begin{cases}\frac{x}{6} \ge -1\ \ \ |\cdot 6\\ \frac{x}{6}lg3 \le lg 4 \ \ \ |:\frac{lg 3}{6}\end{cases}$

$\begin{cases}x\ge -6\\ x \le6\frac{lg 4}{lg3} \end{cases}$

$\begin{cases}x\ge -6\\ x \le6log_3 4\end{cases}$

$\begin{cases}x\ge -6\\ x \le12log_3 2\end{cases}$

$x\in \left[-6;12log_3 2 \right]$

Answer 2

Ответ:

отрезок от [-6; 6log_3(4)]

Объяснение:

3^((x+3)/3)=3^(x/3)×3^1.

Пусть 3^(x/6) = t >0, тогда 3^(x/3)=3^(2x/6)=t^2.

После замены получим 3t^2-13t+4<=0.

Используя теорему Виета подберём t1, t2:

t1+t2=13/3, t1t2=4/3, получим t1=4, t2=1/3

Разложим на множители неравенство:

3(t-4)(t-1/3)<=0

++++++++1/3-----------4+++++++

--------------.-------------.------------>t

Нам подходят t принадлежащие отрезку [1/3;4].

Обр. замена:

3^(x/6) >= 3^-1 =1/3 и 3^(x/6) <= 3^log_3(4) (представили 4 как 3 в степени логарифм).

3 > 1, поэтому мы можем опустить основания и перейти к сравнениб показателям:

x/6 >= -1 и x/6 <= log_3(4)

x >= -6 и x <= 6log_3(4).

Это и есть наш ответ.

Выкладки на бумаге ниже.