Question

Остаток от деления натурального числа m на 7 равен 6. Найдите остаток от деления m^2+3m+7 на 7

Answer 1

$m\equiv 6\bmod 7\Rightarrow m=7n+6, n\in \mathbb{N}$

$(7n+6)^2+3(7n+6)+7=49 n^2 + 105 n + 61=\\=\left (7\cdot 7n^2+2\cdot 7\cdot 6n+36+3\cdot 7k+18+7 \right )\equiv x\bmod 7\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \left (36+18+7 \right )\equiv x\bmod 7\Leftrightarrow 61\equiv x\bmod 7\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow 5\equiv x\bmod 7\Rightarrow x=5+7k,k \in\mathbb{N}$