Question

(1/√x-1/2) (x4 − 4x2 − 5) = 0

Answer 1

$\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2} \right )\left ( x^4-4x^2-5 \right )=0\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2} \right )\underbrace{\left ( x^2+1 \right )}_{ > 0}\left ( x^2-5 \right )=0\\\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2} \right )\left ( x^2-5 \right )=0\Rightarrow x=\left \{ \pm \sqrt{5},4 \right \}$

Второй множитель я разложил на множители используя следствие из теоремы Виета: если $a-b+c=0$, о первый корень равен $-1$, а второй равен $-\frac{c}{a}$

Потом мы получили произведение из трёх множителей, второй не имел нулей, так как он всегда положительный при всех $x$

После чего мы получили произведение, которое равно нулю, а произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю, а второй не теряет смысла

$\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=2\Rightarrow x=4\\x^2-5=0\Leftrightarrow x^2=5\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}$

Но не стоит забывать, что у нас есть в знаменателе корень, а значит подкоренное выражение строго больше нуля, так как знаменатель не может быть нулём, отсюда и строгое неравенство

$x > 0\Rightarrow x=\left \{ \sqrt{5},4 \right \}$