Question

Квадратная сетка на евклидовой плоскости состоит из всех точек (m,n), где m и n - целые числа. Можно ли покрыть все точки сетки бесконечным семейством дисков с непересекающимися внутренностями, если каждый диск семейства имеет радиус не менее 5?

Answer 1

Идея и почему мы решили действовать так

На первый взгляд проблема кажется очень неприступной. Чтобы показать, что точка решетки существует, достаточно показать, что существует квадрат размером $1\times1$. Геометрия квадрата не очень хорошо сочетается со всеми кругами, поэтому вместо этого я попытался показать, что круг радиусом $1/\sqrt2$ существует. Число 5 можно получить, если взять и выложенные плиткой окружности так, чтобы центры образовывали равносторонние треугольники; быстрый расчет подтверждает, что 5 - это минимально необходимое число

Моя первоначальная идея состояла в том, чтобы соединить центры всех дисков и получить "паутину'", а затем показать, что в этой паутине существует треугольник, для которого при вырезании трех секторов в оставшейся области образуется искомый круг. Эта идея работает только в том случае, если в области любого треугольника паутины есть только три сектора, а не любые другие круги; но это неверно, если три круга расположены очень далеко друг от друга и в область входит четвертый круг

Чтобы модифицировать эту идею, я рассматривал расширение окружности до тех пор, пока она не попадет на некоторые три диска, вместо того чтобы фиксировать их

Решение

Предположим, что это возможно. Основная идея состоит в том, чтобы показать, что можно получить окружность радиусом не менее $1/\sqrt2$, не пересекающую ни один диск; тогда эта окружность должна содержать квадрат $1\times1$, в котором находится точка решетки. Начнём с точки $O$ и красной окружности с центром в $O$, которая не пересекает никакую окружность

1. Возьмем гомотетию в точке $O$, пока новая окружность (закрасьте ее синим цветом) не станет касательной к некоторому диску $\odot(O_1)$ в точке $P$
2. Возьмем гомотетию в точке $P$, пока новая окружность (закрасьте ее зеленым цветом) также не станет касательной к некоторому диску $\odot(O_2)$
3. Расширяем зеленую окружность, сохраняя ее касательной к $\odot(O_1)$ и $\odot(O_2)$, пока она не станет касательной к диску $\odot(O_3)$

Лемма: Конечная окружность $\omega$ имеет радиус не менее $1/\sqrt2$

Доказательство: В каждой вершине $\triangle O_1O_2O_3$ существует окружность в точке $O_i$ радиуса $r_i$. Если эти три окружности не попарно касательны, то можно немного увеличить один из радиусов, что уменьшит радиус $\omega$ Поэтому предположим, что окружности $\odot(O_i)$ попарно касательны. $\angle O_1OO_2 \le 120^\circ$, тогда в треугольнике $\triangle OO_1O_2$ мы получаем

$-\frac12 \le \cos \angle O_1OO_2 = \frac{(r+r_1)^2+(r+r_2)^2-(r_1+r_2)^2}{2(r+r_1)(r+r_2)} \Rightarrow$$-(r+r_1)(r+r_2) \le (r+r_1)^2+(r+r_2)^2-(r_1+r_2)^2 \Rightarrow$$3r^2\ge r_1r_2-3r(r_1+r_2) = (r_1-3r)(r_2-3r) - 9r^2 \ge (5-3r)^2-9r^2 \Rightarrow$$12r^2 \ge (5-3r)^2 \Rightarrow r \ge \tfrac13(10\sqrt3-15) > \frac{1}{\sqrt{2}}$

P.S.

Рисунок рисовал в $\LaTeX$, возможно криво получилось