Question

Задание на фотографии

Answer 1

Давайте рассмотрим подкоренное выражение, а именно $\sqrt{9-4\sqrt{2}}$. В этом выражении попробуем выделить полный квадрат, чтобы избавится от этого корня. То есть, мы попробуем применить формулы сокращённого умножения, например $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, чтобы выделить полный квадрат и избавиться от корня

Мы знаем, что для этого нам нужно удвоенное произведение. Вряд ли девять раскладывается на произведение целых чисел, включающее в себя число да. А вот четыре прекрасно раскладывается как $4=2\cdot 2$

Мы нашли удвоенное произведение и как правило два умножается на a и на b, по формуле квадрата разности. Тогда в роле a будет $2$, а в роле b - $\sqrt{2}$. Раз мы нашли a и b, то подставляем в формулу и проверяем

$2^2-2\cdot 2\sqrt{2}+\left ( \sqrt{2} \right )^2=4-2\cdot 2\sqrt{2}+2=6-2\cdot 2\sqrt{2}$

Мы получили совершенно другое выражение, а значит неверно взяли числа за $a$ и $b$. Пусть на этот раз $a=2\sqrt{2}$, а b будет единицей. Да, не стоит забывать, что $4=4\cdot 1$ !

$\left ( 2\sqrt{2} \right )^2-2\cdot2\cdot \sqrt{2}+1^2=8-2\cdot 2\cdot \sqrt{2}+1=9-2\cdot 2\cdot \sqrt{2}$

Мы получили наше подкоренное выражение, а значит сделали всё правильно! Теперь мы можем выделить полный квадрат

$\sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{\left ( 2\sqrt{2}-1 \right )^2}=2\sqrt{2}-1$

Тогда, мы можем переписать наше выражение

$\left ( \sqrt{2}-1 \right )\sqrt{4+\sqrt{9-4\sqrt{2}}}=\left ( \sqrt{2}-1 \right )\sqrt{3+2\sqrt{2}}$

Заметим, что главный корень никуда не ушёл, а значит нам снова нужно выделить полный квадрат. Мы уже видим удвоенное произведение, а значит в роле $a$ будет $\sqrt{2}$, а в роле $b$ - единица. Подставляем в формулу

$\left ( \sqrt{2} \right )^2+2\cdot 1\cdot \sqrt{2}+1^2=2+2\cdot 1\cdot \sqrt{2}+1=3+2\cdot 1\cdot \sqrt{2}$

Мы получили наше подкоренное выражение и манежем выделить полный квадрат

$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{\left ( \sqrt{2}+1 \right )^2}=\sqrt{2}+1$

Перепишем наше первоначальное выражение

$\left ( \sqrt{2}-1 \right )\sqrt{4+\sqrt{9-4\sqrt{2}}}=\left ( \sqrt{2}-1 \right )\left ( \sqrt{2}+1 \right )=2-1=1$

Answer 2

1

####################