Question

Дано уравнение, решить и доказать, что полученное значение действительно является его решением

Answer 1

Мы применим интересное следствие, про которое мало где говорят и которое выводится из перехода к новому основанию $\log_ab\cdot \log_cd=\log_cb\cdot \log_ad$, то есть вы можете перемещать как основания, так и аргументы $\log_ab\cdot \log_cd=\log_ad\cdot \log_cb$ логарифмов, когда есть произведение!

$\log_2\left ( x^2+4x-9 \right )\log_{x^2-10x+25}4=\log_{x^2-4x+4}\left ( x^2-4x+4 \right )$

$\log_{x^2-10x+25}\left ( x^2+4x-9 \right )\log_24=1\Leftrightarrow \log_{x^2-10x+25}\left ( x^2+4x-9 \right )=\frac{1}{2}$

$\log_{x^2-10x+25}\left ( x^2+4x-9 \right )=\log_{x^2-10x+25}\sqrt{x^2-10x+25}$

$\left (x^2-10x+25-1 \right )\left ( x^2+4x-9-\sqrt{x^2-10x+25}\right )=0$

$\left ( x^2-10x+24 \right )\left ( x^2+4x-9-|x-5| \right )=0$

$(x-4)(x-6)\left ( x^2+4x-9-x+5 \right )\left ( x^2+4x-9+x-5 \right )=0$

$(x-4)(x-6)\left ( x^2+5x-4 \right )\left ( x^2+5x-14 \right )=0$

$(x-4)(x-6)(x-2)(x+7)\left ( \frac{4}{41}\left ( x+\frac{5}{2} \right )^2-1 \right )=0$

$x=\left \{ -7,2,4,6,\frac{-5\pm \sqrt{41}}{2} \right \}$

В решении я применил рационализацию и немного иначе рассмотрел два случая с модулем, но ничего необычного. Мы нашли корни уравнения. Теперь найдём ОДЗ

$\begin{cases}x^2-4x+4\neq 1\\ x^2-4x+4 > 0\\x^2-10x+25\neq 1\\x^2-10x+25 > 0\\x^2+4x-9 > 0\end{cases}\Rightarrow \left[ \begin{gathered} x < -2-\sqrt{13}\\x > 6\\\begin{cases}x > 5\\x < 6\end{cases}\\\begin{cases}x > 4\\x < 5\end{cases}\\\begin{cases}x > 3\\x < 4\end{cases}\\\begin{cases}x > 2\\x < 3\end{cases}\\\begin{cases}x > -2+\sqrt{13}\\x < 2\end{cases} \end{gathered} \right.$

Ответ: $x=-7$