Question

Знайдіть інтегральну криву диференціального рівняння
y'=y/x(дробь) +x^2 якій
належить точка М (1; 2).

Answer 1

Ответ:

Дифференциальное уравнение 1 порядка , линейное .              

$\displaystyle \bf y'=\dfrac{y}{x}+x^2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y'-\dfrac{y}{x}=x^2$  

Замена:   $\bf y=uv\ \ ,\ \ y'=u'v+uv'$  .

$\displaystyle \bf u'v+uv'-\dfrac{uv}{x}=x^2\ \ ,\ \ \ \ u'v+u\cdot \Big(v'-\dfrac{v}{x}\Big)=x^2\\\\a)\ \ v'-\dfrac{v}{x}=0\ \ ,\ \ \ \int \frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{x}\ \ ,\ \ \ ln|v|=ln|x|\ \ ,\\\\v=x\\\\b)\ \ u'v=x^2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{du}{dx}\cdot x=x^2\ \ ,\ \ \ \int du=\int x\, dx\ \ ,\\\\u=\frac{x^2}{2}+C\\\\c)\ \ y=x\cdot \Big(\frac{x^2}{2}+C\Big)$                        

$\bf d)\ \ M(1;2)\ \ \Rightarrow \ \ \ y(1)=2\ \ ,\ \ y(1)=1\cdot \Big(\dfrac{1}{2}+C\Big)\ \ ,\\\\\dfrac{1}{2}+C=2\ \ ,\ \ C=1,5\\\\y(x)\Big|_{M}=x\cdot \Big(\dfrac{x^2}{2}+1,5\Big)$