M — середина стороны AB параллелограмма ABCD, O — точка пересечения отрезков MD и AC. Площадь параллелограмма равна 24. Найдите площадь треугольника AOD.
Ответы
Відповідь:
площадь треугольника AOD равна a / 4.
Пояснення:
Чтобы найти площадь треугольника AOD, нам необходимо знать высоту треугольника, опущенную из вершины A на сторону OD. Эта высота будет проходить через точку O, так как MD является высотой параллелограмма ABCD, и точка O - точка их пересечения.
Пусть H - точка пересечения высоты AD и стороны OD (см. рисунок ниже).
C ___________D
/ \
/ \
/ O \
/ \
/ \
A________________B
Из условия задачи известно, что площадь параллелограмма ABCD равна 24. Давайте обозначим длины сторон параллелограмма следующим образом:
AB = a (поскольку стороны параллельны, то AB и CD имеют одинаковую длину)
BC = b
AD = h (высота параллелограмма)
Так как M является серединой стороны AB, то AM = MB = a/2.
Теперь рассмотрим треугольник AOD. Мы знаем, что точка O - точка пересечения высоты MD и стороны AC, и, следовательно, MO = OD. Также у нас есть AM = a/2.
Давайте обозначим точку H - точку пересечения высоты AD и стороны OD. Тогда OH = HD.
Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника, AOM и AHD, в которых известны катеты и гипотенузы:
В треугольнике AOM:
AO = AM + MO = a/2 + a/2 = a
OM = OD = a
В треугольнике AHD:
AH = AM = a/2
HD = OD - OH = OD - HD (так как OH = HD) = a - a/2 = a/2
Теперь мы можем рассчитать площадь треугольника AOD по формуле для площади прямоугольного треугольника: S = (1/2) * катет1 * катет2
S(AOD) = (1/2) * AH * OD
S(AOD) = (1/2) * (a/2) * a
S(AOD) = (1/2) * (a^2)/2
S(AOD) = a^2 / 4
Теперь нам нужно найти значение a^2. Для этого воспользуемся площадью параллелограмма ABCD:
S(ABCD) = a * h
24 = a * h
Так как нам дано, что площадь параллелограмма равна 24, а высота h еще неизвестна, то a * h = 24. Мы также знаем, что AB = a, поскольку стороны параллельны и одинаковы.
Теперь мы можем выразить a^2 через h:
a^2 = 24 / h
Итак, площадь треугольника AOD равна:
S(AOD) = a^2 / 4
S(AOD) = (24 / h) / 4
S(AOD) = 24 / (4 * h)
S(AOD) = 6 / h
Теперь нам нужно найти значение h (высоты параллелограмма). Для этого воспользуемся формулой площади параллелограмма:
S(ABCD) = a * h
24 = a * h
h = 24 / a
Теперь подставим значение h в формулу площади треугольника AOD:
S(AOD) = 6 / h
S(AOD) = 6 / (24 / a)
S(AOD) = 6 * (a / 24)
S(AOD) = a / 4
Итак, площадь треугольника AOD равна a / 4.