Question

Количество действительных решений уравнения 2×3^3х -15 ×9^х+24×3^х+16= 0 равно выберите один ответ СРОЧНО

3

0

4

1

2

Answer 1

Ответ:

Показательное уравнение .

$\bf 2\cdot 3^{3x}-15\cdot 9^{x}+24\cdot 3^{x}+16=0\\\\2\cdot 3^{3x}-15\cdot 3^{2x}+24\cdot 3^{x}+16=0$  

Сделаем замену :   $\bf y=3^{x} > 0$  . Тогда получим уравнение :

$\bf 2y^3-15y^2+24y+16=0$  

Если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями числа  16/2 = 8 . Проверим делитель числа 8 число  y = 4 . Можно сначала и другие делители проверять, но они не дадут результат. Подставим  y = 4 в уравнение:

$\bf 2\cdot 4^3-15\cdot 4^2+24\cdot 4+16=128-240+96+16=0$  .

Так как получили 0 , то y = 4 является корнем уравнения . Можно разделить на разность (y-4) , получим многочлен 2 степени .

$\bf 2y^3-15y^2+24y+16=(y-4)(2y^2-7y-4)$  

Теперь найдём корни квадратного трёхчлена .

$\bf 2y^2-7y-4=0\ \ ,\ \ D=b^2-4ac=7^2+4\cdot 2\cdot 4=81\ \ ,\\\\y_1=\dfrac{7-9}{4}=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ \ y_2=\dfrac{7+9}{4}=4\\\\2y^2-7y-4=2(y+\dfrac{1}{2})(y-4)=(2y+1)(y-4)$  

Окончательно получаем  

$\bf 2y^3-15y^2+24y+16=(y-4)(2y+1)(y-4)\\\\(y-4)^2(2y+1)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ y_1=y_2=4\ ,\ \ y_3=-\dfrac{1}{2}$  

Перейдём к старой переменной .

$\bf 3^{x}=4\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=log_3\, 4$  

$\bf 3^{x}=-\dfrac{1}{2}\ \ \ \Rightarrow$   уравнение не имеет решений , так как   $\bf 3^{x} > 0$   .

Ответ:  количество действительных решений равно одному ,  и это      

             $\bf x=log_3\, 4$  .