Question

В в треугольнике одна сторона в ¾ раза длиннее другой. медианы проведённые к этим сторонам перпендикулярны. найдите велечену угла между этими сторонами

Answer 1

Ответ:

$\alpha\approx33,56^o$

Пошаговое объяснение:

$AC=b,\ AE=EC=\frac{1}{2}b$

$AB=\frac{4}{3}b,\ AD=DB=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}b=\frac{2}{3}b$

BE, CD - медианы

Медианы треугольника пересекаются в точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1.

$OE=x,\ OB=2x$

$OD=y,\ OC=2y$

1) $\Delta DBO$

По теореме Пифагора

$OD^2+OB^2=BD^2\\\\y^2+(2x)^2= \left(\frac{2}{3}b\right)^2\\\\y^2+4x^2=\frac{4}{9}b^2$

2) $\Delta EOC$

По теореме Пифагора

$OC^2+OE^2=EC^2\\\\(2y)^2+x^2= \left(\frac{1}{2}b\right)^2\\\\4y^2+x^2=\frac{1}{4}b^2$

3) с 1 и 2

$y^2+4x^2+4y^2+x^2=\frac{4}{9}b^2+\frac{1}{4}b^2\\\\5x^2+5y^2=\frac{16}{36}b^2+\frac{9}{36}b^2\\\\5x^2+5y^2=\frac{25}{36}b^2\\\\5(x^2+y^2)=\frac{25}{36}b^2 \ \ \ |:5\\\\x^2+y^2=\frac{5}{36}b^2$

4)$\Delta OBC$

По теореме Пифагора

$OB^2+OC^2=BC^2\\\\(2x)^2+(2y)^2=BC^2\\\\4x^2+4y^2=BC^2\\\\BC^2=4(x^2+y^2)\\\\BC^2=4\cdot\frac{5}{36}b^2\\\\BC^2=\frac{5}{9}b^2$

5) $\Delta ABC$

По теореме косинусов

$BC^2=AC^2+AB^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot cos\alpha\\\\\frac{5}{9}b^2=b^2+ \left(\frac{4}{3}b\right)^2-2\cdot b\cdot\frac{4}{3}b\cdot cos\alpha\\\\\frac{5}{9}b^2=b^2+\frac{16}{9}b^2-\frac{8}{3}b^2cos\alpha\\\\\frac{5}{9}b^2=\frac{25}{9}b^2-\frac{8}{3}b^2cos\alpha\\\\\frac{8}{3}b^2cos\alpha=\frac{25}{9}b^2-\frac{5}{9}b^2\\\\\frac{8}{3}b^2cos\alpha=\frac{20}{9}b^2\ \ \ |:\frac{8}{3}b^2\\\\cos\alpha=\frac{5}{6}\\\\\alpha\approx33,56^o$