Question

Можете ,будь ласка, дати розгорнуту відповідь

Answer 1

Решение.

Исследовать ряд на сходимость .

$\bf \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{n^5}{n!}$      

Применим к знакоположительному ряду  достаточный признак сходимости  Даламбера .

$\displaystyle \bf a_{n}=\frac{n^5}{n!}\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{(n+1)^5}{(n+1)!}\\\\\\\lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{(n+1)^5}{(n+1)!}:\frac{n^5}{n!}=\lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{(n+1)^5}{n!\, (n+1)}\cdot \frac{n!}{n^5}=\lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{1}{n+1}=0$  

Так как  0 < 1 , то ряд сходится .