Question

Сколько двоек содержится в разложении на простые множители числа 3^1024−1?

Answer 1

Ответ:

12

Объяснение:

${3}^{1024} - 1 = ( {3}^{512} - 1)( {3}^{512} + 1) = ( {3}^{256} - 1)( {3}^{256} + 1)( {3}^{512} + 1) = ... = (3 - 1)(3 + 1)( {3}^{2} + 1)(( {3}^{4} + 1)( {3}^{8} + 1)( {3}^{16} + 1)...$

Выражение вида

${3}^{2n} + 1$

где n∈N, будет кратно исключительно двойке, ведь выражение сравнимо с 2 по модулю 4, следовательно, все множители начиная с третьего кратны только 2, первый множитель тоже кратен 2, а второй 4. Всего множителей 11, но один из них кратен 4, следовательно, всё выражение кратно 2¹², ну и всего двоек 12