Question

5. x; у; z составляют геометрическую прогрессию. x; y - 8; z - составляют арифметическую прогрессию. x+y+z= -7. Найдите х, у и z. ​

Answer 1

Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}$

Поскольку числа x; у; z составляют геометрическую прогрессию, то:

$y^2=xz$

Поскольку числа x; y-8; z составляют арифметическую прогрессию, то:

$2(y-8)=x+z$

Кроме этого, известно дополнительное условие:

$x+y+z= -7$

Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases} y^2=xz\\ 2(y-8)=x+z \\ x+y+z= -7\end{cases}$

Из последнего уравнения выразим сумму x+z:

$x+z=-7-y$

Поставим во второе уравнение:

$2(y-8)=-7-y$

$2y-16=-7-y$

$2y+y=16-7$

$3y=9$

$y=3$

Поставим значение y в первые два уравнения системы:

$\begin{cases} xz=9 \\ x+z=-10 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим z:

$z=-10-x$

Поставим в первое уравнение:

$x(-10-x)=9$

$-10x-x^2=9$

$x^2+10x+9=0$

Поскольку сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту, то первый корень уравнения равен (-1), а второй - равен отношению свободного члена к старшему коэффициенту, взятому с противоположным знаком:

$x_1=-1;\ x_2=-9$

Найдем соответствующие значения z:

$z_1=-10-(-1)=-9$

$z_2=-10-(-9)=-1$

Таким образом, имеется две тройки чисел (x; y; z):

(-1; 3; -9) и (-9; 3; -1).

Ответ: (-1; 3; -9) и (-9; 3; -1)