Question

Разложить функцию f (х) вокруг заданную точки ряд Тейлора или
Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.

Answer 1

По формуле Тейлора, около некоторой окрестности точки $x_0$ для функции $f(x)\in C^{\infty}(x_0)$:

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$

Для $f(x)=\mathop{\mathrm{sh}} x$ имеем

$\displaystyle f^{(n)}(x)=\begin{cases}\mathop{\mathrm{sh}} x, &n=0,\, 2,\, 4,\, 6,\dotsc\\ \mathop{\mathrm{ch}} x, &n=1,\, 3,\, 5,\, 7,\dotsc \end{cases},$ то есть

$\displaystyle f^{(n)}(x_0=0)=\begin{cases}0, &n=0,\, 2,\, 4,\, 6,\dotsc\\ 1, &n=1,\, 3,\, 5,\, 7,\dotsc \end{cases}$.

Так,

$\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!},\quad f(x)=\mathop{\mathrm{sh}} x,$

с радиусом сходимости $\displaystyle R = 1/\overline{\lim}_{n\to\infty}}\bigg|\frac{c_{n+1}}{c_n}\bigg|,\quad c_n = \frac{1}{(2n+1)!},$ то есть

$\displaystyle R = 1/\overline{\lim}_{n\to\infty}\frac{1}{2n+2} = 1/0 \to \infty.$

Значит, область $D$ сходимости ряда совпадает со всей числовой прямой: $D = \mathbb{R}$.

Ответ. $\displaystyle f(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb{R}.$