Question

Задача: Пусть \( P(n) \) – это полином степени \( n \) с рациональными коэффициентами. Докажите или опровергните, что существует такая последовательность рациональных полиномов \( \{ P_n(x) \} \), что:

1. \( P_1(x) = x \).
2. \( P_{n+1}(x) = P_n(x + P_n(x)) \) для всех \( n \geq 1 \).
3. \( P_n(0) \) является рациональным числом для всех \( n \).
4. \( \lim_{n \to \infty} P_n(0) \) существует и является трансцендентным числом.

Answer 1

Ответ:

Докажем, что такая последовательность рациональных полиномов с заданными свойствами не существует.

Предположим, что такая последовательность полиномов {Pn(x)}{Pn​(x)} существует. Рассмотрим полином P1(x)=xP1​(x)=x. Тогда, в согласии с условием (2), мы имеем:

P2(x)=P1(x+P1(x))=P1(x+x)=P1(2x)=2x.P2​(x)=P1​(x+P1​(x))=P1​(x+x)=P1​(2x)=2x.

Затем, применив снова условие (2), получаем:

P3(x)=P2(x+P2(x))=P2(x+2x)=P2(3x)=3x.P3​(x)=P2​(x+P2​(x))=P2​(x+2x)=P2​(3x)=3x.

Таким образом, для всех натуральных nn, получаем Pn(x)=nxPn​(x)=nx.

Теперь рассмотрим значения полиномов Pn(0)Pn​(0):

Pn(0)=n⋅0=0.Pn​(0)=n⋅0=0.

Согласно условию (3), все значения Pn(0)Pn​(0) должны быть рациональными числами. Однако мы видим, что Pn(0)=0Pn​(0)=0 для всех nn, и тем самым получаем противоречие с условием (4) о существовании трансцендентного предела.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и предположение о существовании такой последовательности полиномов {Pn(x)}{Pn​(x)} неверно. Такая последовательность не существует.