Question

Нужна помощь!!!! Геометрия
Найдите тангенс угла В в равнобедренном треугольнике АВС, если АВ=АС и tg угла А=3/4

Answer 1

Ответ:  tg∠B = 3  .

ΔАВС ,  АВ = АС  ⇒  ∠В = ∠С  ,  tg∠B = 3/4  

Так как треугольник равнобедренный , то  ∠В = ∠С  и  

$\bf 180^\circ =\angle{A}+\angle{B}+\angle{C}=\angle{A}+2\cdot \angle{B}\ \ \Rightarrow \ \ \angle{A}=180^\circ -2\cdot \angle{B}\\\\tg\angle{A}=tg(180^\circ -2\cdot \angle{B})=-tg(2\cdot \angle{B})$  

Обозначим  ∠B = β .

$\bf tg\angle{A}=-tg(2\beta )\ \ \Rightarrow \ \ tg(2\beta )=-tg\angle{A}=-\dfrac{3}{4}\\\\tg2\beta =\dfrac{2\cdot tg\beta }{1-tg^2\beta }\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{2\cdot tg\beta }{1-tg^2\beta }=-\dfrac{3}{4}\ \ ,\ \ \ 8\cdot tg\beta =-3\cdot (1-tg^2\beta )\ ,\\\\\\8\, tg\beta =-3+3tg^2\beta \ \ ,\ \ \ 3\, tg^2\beta -8\, tg\beta -3=0\ \ ,\\\\D=8^2+4\cdot 3\cdot 3=100\ \ ,\\\\tg\beta =\dfrac{8+10}{6}=3\ \ \ \ ili\ \ \ \ tg\beta =\dfrac{8-10}{6}=-\dfrac{1}{3}$  

Так как  tg∠A > 0 ,  то  ∠А - острый .

Если выберем  tg∠B  = - 1/3 <0  , то ∠В - тупой .  Но в  ΔАВС есть

второй угол, равный углу В , угол  ∠С = ∠В .  Значит получим, что в треугольнике есть два тупых угла, чего быть не может, так как тогда сумма всех трёх углов треугольника будет больше 180° .

Значит выбираем  $\bf tg\angle{B}=tg\beta =3$  .