Докажите, CK=LM

7 класс

(Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AB и BC и гипотенузой AC. На сторонах треугольника во внешнюю сторону строятся квадраты, и пусть K, L, M – точки пересечения диагоналей (центры) квадратов со сторонами AB, BC, AC, соответственно. Докажите, что CK= LM.)

Приложения:

Ответы

Ответ дал: NNNLLL54

Ответ:

ΔАВC , ∠В=90° . Точки K , M , L - центры квадратов , точки пересечения их диагоналей . Доказать , что СK = LM .

Обозначим а=ВС , с=АВ , b=AC .

Опустим перпендикуляры: KH ⊥BT , MP ⊥ CN , LG ⊥ BC .

Рассмотрим ΔКНС , ∠КНС=90° , КН = HB = с/2 , по теореме Пифагора имеем СК² = КН²+СН² = КН² + (НВ+СВ)² .

$\bf CK^2=\dfrac{c^2}{4}+\Big(\dfrac{c}{2}+a\Big)^2=\dfrac{c^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}+2\cdot \dfrac{c}{2}\cdot a+a^2= \dfrac{c^2}{2}+a^2+a\, c$

Рассмотрим ΔMPC , ∠MPC=90° , ∠MCP=∠CMP=45° , MP=CP = b/2 , по теореме Пифагора имеем MC² = MP²+CP² .

$\bf MC^2=\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}=\dfrac{2b^2}{4}=\dfrac{b^2}{2}\ \ ,\ \ \ MC=\dfrac{b}{\sqrt2}$

Аналогично из ΔCLG , ∠CGL=90° , ∠LCG=∠CLG=45° , LG=CG = a/2 ,

$\bf CL=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Рассмотрим ΔCLM , ∠MCL = ∠LCG + ∠ACB + ∠ACM , ∠ACM=45° ⇒

∠MCL = 45°+ ∠ACB +45° = 90° + ∠ACB

По теореме косинусов для ΔСLM имеем

$\bf LM^2=MC^2+CL^2-2\cdot MC\cdot CL\cdot cos(90^\circ +\angle{ACB})\\\\ LM^2=MC^2+CL^2-2\cdot MC\cdot CL\cdot (-sin\angle{ACB})$

Найдём синус ∠ACB из ΔАВС , $\bf sin\angle{ACB}=\dfrac{c}{b}$ . А также по теореме Пифагора b² = a² + c² .

$\bf LM^2=MC^2+CL^2+2\cdot MC\cdot CL\cdot sin\angle{ACB}\\\\LM^2=\Big(\dfrac{b}{\sqrt2}\Big)^2+\Big(\dfrac{a}{\sqrt2}\Big)^2+2\cdot \dfrac{b}{\sqrt2}\cdot \dfrac{a}{\sqrt2}\cdot \dfrac{c}{b}=\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}+2\cdot \dfrac{abc}{2b}=\\\\\\=\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}+ a\, c=\dfrac{a^2+c^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}+ac=\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{c^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}+a\, c=\dfrac{c^2}{2}+a^2+a\, c$