На доске записаны 3 натуральных числа. На каждом шагу Аран заменяет самую маленькую из написанных на доске сов произведением двух других (если самая маленькая не единственная, он выбирает одну из них). Можно ли написать на доске число 23 после 3 шагов? Изменится ли ответ на задачу, если количество шагов равно 4?
Ответы
Давайте рассмотрим эту задачу.
Изначально, у нас есть три натуральных числа на доске: a, b и c.
На каждом шаге мы заменяем самую маленькую из написанных чисел (скажем, это "a") произведением двух других чисел (b и c).
Таким образом, после первого шага у нас на доске останется два числа: b и c, а третье число "a" будет заменено на b * c.
После второго шага у нас останется число b (самое маленькое из двух оставшихся чисел) и число "b * c" будет заменено на "b * b * c".
На третьем шаге, после замены "b * c" на "b * b * c", у нас на доске останется число "b" и число "b * b * c", и мы заменим "b" на "b * b * c".
Теперь у нас на доске останется только одно число "b * b * c".
Поскольку изначально у нас были три натуральных числа, мы можем записать начальное состояние как "a, b, c" и конечное состояние как "b * b * c".
Таким образом, мы можем утверждать, что после трех шагов мы можем получить число вида "b * b * c".
Ответ на вопрос:
Мы хотим записать на доске число 23. Рассмотрим простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Попробуем разложить 23 на произведение двух таких чисел: 23 = 1 * 23 или 23 = 7 * 3. Очевидно, невозможно представить 23 в виде "b * b * c". Таким образом, нельзя записать на доске число 23 после трех шагов.
Изменение ответа при четырех шагах:
С учетом анализа выше, давайте рассмотрим возможность записи числа 23 после четырех шагов. Мы видим, что 23 не раскладывается на произведение двух простых чисел. Поэтому, даже при четырех шагах, мы не сможем получить число 23 на доске.