Question

Решить уравнение в натуральных числах: x²+23=24y²

Answer 1

$x^2+23 = 23y^2+y^2\\(x-y)(x+y) = 23(y^2-1)$

Обе части равенства могут быть равны нулю только при x=y и y=1. Если обе части равенства ненулевые, то либо x-y либо x+y делится на 23, тк 23 - простое число.

Случай А) $x-y=23n,\quad n\in\mathbb{N}$

$23n(23n+2y)=23(y^2-1)\\23n^2+2ny=y^2-1\\y^2-2ny-23n^2-1=0$

У этого уравнения только один положительный корень

$y = n+\sqrt{24n^2+1}$

Таким образом мы должны найти все $n$, такие что $24n^2+1=N^2$. Это известный случай уравнения Пелля, в канонической форме записывается как $N^2-24n^2=1$. Самое его "минимальное" решение ищется легко: $N=5, n=1$. Следующее его решение конструируется следующим образом. Возведем $N+n\sqrt{24} = 5+\sqrt{24}$ в квадрат, получим $49+10\sqrt{24}$. Числа N=49, n=10 также являются решениями уравнения $24n^2+1=N^2$ (проверка: $2401=49^2$). Следующее решение конструируется аналогичным образом: $5+\sqrt{24}$ возводится в куб и упрощается до $485+99\sqrt{24}$, значит N=485, n=99 тоже решения.

Проще говоря $(5+\sqrt{24})^k = N_k+n_k\sqrt{24}$, где $k\in\mathbb{N}$,
и в свою очередь $y_k=N_k+n_k$, $x_k = N_k+24n_k$
Например для k=1 в итоге получим пару y=6, x=29

Случай Б) $x+y=23n, \quad n\in\mathbb{N}$

$(23n-2y)\cdot23n = 23(y^2-1)\\23n^2-2ny=y^2-1\\y^2+2ny-23n^2-1=0$

Это уравнение также имеет единственное положительное решение

$y = -n+\sqrt{24n^2+1}$. Мы уже выяснили, когда $24n^2+1$ является полным квадратом и поэтому это семейство решений также представим в виде

$y_k = N_k-n_k$, $x_k = 24n_k-N_k$.
Например для все того же k=1, имея n=1 и N=5, получим y=4, x=19

Ответ: пара чисел $(x,y)$ либо является $(1,1)$, либо принадлежит одному из двух семейств

$(N_k+24n_k,N_k+n_k)$  или $(24n_k-N_k,N_k-n_k)$, где числа $N_k$ и $n_k$ находятся из приведения выражения $(5+\sqrt{24})^k$ к виду $N_k+n_k\sqrt{24}$, а k является натуральным числом