Question

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Answer 1

Ответ:

Решить дифференциальное уравнение 1-го порядка .

$\displaystyle \bf y'=\frac{x+2y-3}{x-1}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y'=\frac{x-3}{x-1}+\frac{2y}{x-1}\ \ ,\ \ \ y'-\frac{2}{x-1}\cdot y=\frac{x-3}{x-1}$  

Заданное дифф. ур-е является линейным ДУ 1-го порядка .

Решаем с помощью замены  $\bf y=uv\ ,\ y'=u'v+uv'$  .

$\displaystyle \bf u'v+uv'-\frac{2}{x-1}\cdot uv=\frac{x-3}{x-1}\ \ ,\ \ u'v+u\cdot \Big(v'-\frac{2}{x-1}\cdot v\Big)=\frac{x-3}{x-1}\\\\\\a)\ \ v'-\frac{2}{x-1}\cdot v=0\ \ ,\ \ \frac{dv}{dx}=\frac{2v}{x-1}\ \ ,\ \ \int \frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{x-1}\ \ ,\\\\\\ln|v|=ln|x-1|\ \ \ \Rightarrow \ \ \ v=x-1\\\\\\b)\ \ u'v=\frac{x-3}{x-1}\ \ \ \Rightarrow \ \ \frac{du}{dx}\cdot (x-1)=\frac{x-3}{x-1}\ \ ,\\\\\\\int du=\int \frac{x-3}{(x-1)^2}\, dx$  

Найдём интеграл в правой части равенства с помощью замены .

$\bf \displaystyle \int \frac{x-3}{(x-1)^2}\, dx=\Big[\ t=x-1\ ,\ x=t+1\ ,\ dx=dt\ \Big]=\int \frac{t-2}{t^2}\, dt=\\\\\\=\int \Big(\frac{1}{t}-\frac{2}{t^2}\Big)\, dt=ln|\, t\, |-\frac{2\cdot t^{-1}}{-1}+C_1=ln|\, t\, |+\frac{2}{t}+C_1=\\\\\\=ln|\, x-1\, |+\frac{2}{x-1}+C_1$  

Запишем функцию   $\bf u=ln|\, x-1\, |+\dfrac{2}{x-1}+C$  .

c)  Общее решение :

 $\bf y=(x-1)\Big(ln|\, x-1\, |+\dfrac{2}{x-1}+C\Big)\\\\\\y=(x-1)\cdot ln|\, x-1\, |+C(x-1)+2$