Question

Известно, что значение выражения $\sqrt[3]{7-\sqrt{50} } +\sqrt[3]{7+\sqrt{50} }$ является рациональным числом. Чему оно равно?

ЗА СПАМ ПОЛУЧИТЕ БАН!!!

Answer 1

$7-\sqrt{50}=7-5\sqrt{2} =1^3-3\cdot 1^2\cdot \sqrt{2}+3\cdot 1\cdot (\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^3=(1-\sqrt{2})^3$

Аналогично, $7+\sqrt{50} =(1+\sqrt{2})^3$

$\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}+\sqrt[3]{7+\sqrt{50}}=\sqrt[3]{(1-\sqrt{2})^3}+\sqrt[3]{(1+\sqrt{2})^3}=1-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}=2$

Получили рациональное число, равное 2.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

                               $x=\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}+\sqrt[3]{7+\sqrt{50}};$

$x^3=7-\sqrt{50}+7+\sqrt{50}+3\sqrt[3]{(7-\sqrt{50})(7+\sqrt{50})}\left(\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}+\sqrt[3]{7+\sqrt{50}}}\right)=$

                                        $=14+3\sqrt[3]{49-50}\cdot x;$

                                             $x^3+3x-14=0.$

Угадываем x=2 (8+6-14=0 - верно). Поскольку функция y=x³+3x-14, стоящая в левой части уравнения, монотонно возрастает, других решений нет.

Замечание. Мы воспользовались формулой

             $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b).$