Question

решение с объяснннием​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Способ 1:

$\log_6(3x)$ - это монотонно возрастающая функция, поэтому верно, что:

$f(x)=f\left(\dfrac{2x}{3}+1\right),\;\Leftrightarrow\;x=\dfrac{2x}{3}+1,\;\Leftrightarrow\;x=3$

Обращаю внимание, что нам просто важно, чтобы функция возрастала / убывала на всей области определения, то есть Вам могли бы дать точно такую же задачу и сказать, что $f(x)=\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}+\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(x-2)-\sqrt[5]{x}$. Ответ все равно был бы $x=3$.

Вообще задача странная, так как не понятно, на проверку чего она дана. Предположу, что какой-то школьный преподаватель решил придумать задачу лето и предложу способ 2.

Способ 2:

$f(x)=\log_63x\\\\f\left(\dfrac{2x}{3}+1\right)=\log_6\left(3\cdot\left(\dfrac{2x}{3}+1\right)\right)=\log_6(2x+3)$

Тогда получили уравнение:

$\log_63x=\log_6(2x+3)$

ОДЗ:

$\left\{\begin{array}{c}x > 0,\\2x+3 > 0\end{array}\right\;\Leftrightarrow\; x > 0$

Решение:

$\log_63x=\log_6(2x+3)\\3x=2x+3\\x=3$

Найденный корень удовлетворяет ОДЗ, а значит $x=3$ - это корень исходного уравнения.

Задание выполнено!