Question

СРОЧНО!!! 43 бала. Плоский кут при вершині правильної чотирикутної піраміди дорівнює α. Знайди відношення бічної поверхні піраміди до поверхні описаної навколо піраміди кулі.


Розв’яжи завдання з обґрунтуванням і поясненням.

Answer 1

Ответ:

Sбок/Sсф = sin2α/π

Объяснение:

Плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды равен α. Найди отношение боковой поверхности пирамиды к поверхности описанной вокруг пирамиды сферы.

Дано: KABCD - правильная пирамида;

∠DKC = α;

Сфера(О) - описана около KABCD.

Найти: Sбок/Sсф

Решение:

• В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

⇒ площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей четырех равных равнобедренных треугольников.

• Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

Обозначим боковое ребро - b.

⇒ Sбок = 4 · 1/2 · b² sin α = 2b²sin α

Найдем площадь поверхности сферы по формуле:

         Sсф = 4πR²

Радиус сферы, описанной около правильной пирамиды, равен:

          R = b²/2h,

где b - боковое ребро, h - высота пирамиды.

Надо найти h.

Найдем сначала сторону основания по теореме косинусов.

• Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Рассмотрим ΔDKC - равнобедренный.

DC² = KD² + KC² - 2 · KD · KC · cos α

DC² = b² + b² - 2b²cos α = 2b²(1 - cos α)

Рассмотрим ΔАСD - прямоугольный.

• Теорема Пифагора:
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

АС² = DC² + AD² = 2b²(1 - cos α) + 2b²(1 - cos α) = 4b²(1 - cos α)

AC = 2b√(1-cos α)   ⇒   AP = b√(1-cos α)

Рассмотрим ΔАКР - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

АК² = АР² + КР²

КР² = b² - b²(1-cos α) = b²(1 - 1 + cos α) = b²cos α

⇒ KP = b√cos α

Высоту нашли. Можем найти радиус:

$\displaystyle R=\frac{b^2}{2b\sqrt{cos\alpha } } =\frac{b}{2\sqrt{cos\;\alpha } }$

Площадь поверхности сферы:

Sсф = 4πb²/4cos α = πb²/cos α

Sбок/Sсф =

$\displaystyle =\frac{2b^2sin\alpha \cdot cos\alpha }{\pi b^2} =\frac{sin2\alpha }{\pi }$

#SPJ1