Question

Геометрическая прогрессия

Последовательность чисел образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, значение суммы членов которой равно 8. Найдите первый член и знаменатель прогрессии, если значение суммы кубов ее членов равно 512/37.

просьба решить​ с объяснением

Answer 1

Пусть наша прогрессия имеет вид

$a,qa,q^2a...$

Тогда по формуле для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

$\displaystyle 8 = a+qa+q^2a+... = \frac{a}{1-q}$

В то же время кубы членов нашей прогрессии также образуют геометрическую прогрессию

$a^3,q^3a^3,q^6a^3...$

Сумма ее членов, соответственно

$\displaystyle \frac{512}{37} = a^3+q^3a^3+q^6a^3+... = \frac{a^3}{1-q^3} = \frac{a^3}{(1-q)(1+q+q^2)}$

Разделим второе равенство на первое и получим

$\displaystyle \frac{64}{37} = \frac{a^2}{1+q+q^2}$

Учитывая, что $a = 8(1-q)$, получим

$\displaystyle64(1+q+q^2) = 37\cdot64(1-2q+q^2)\\36q^2-75q+36=0\\D = 75^2-4\cdot36^2=441=21^2\\q = \frac{75-21}{72} = 0.75$

Второй корень квадратного уравнения нам не подходит, так как |q| должен быть меньше 1. В свою очередь $a = 8(1-q) = 2$

Ответ: первый член равен 2, знаменатель равен 0.75