В треугольнике
ABC проведены высоты
BH и CN. Докажите, что треуголь-
ник ANH подобен треугольнику ABC. Исправьте «опечатку» в задаче
Ответы
Решение .
Дан ΔАВС , ВН ⊥ АС , СN ⊥ AB . Доказать, что ΔАNH ~ ΔАВС .
Рассмотрим два прямоугольных треугольника : ΔАВН и ΔАСN .
У них есть общий угол , ∠А , и два прямых угла ∠АНВ=∠ANC=90° .
Поэтому эти треугольники подобны : ΔАВН ~ ΔАСN ( по двум углам) . Ну и , конечно, у них равны и третьи углы : ∠ABH=∠ACN .
Запишем тогда пропорциональные стороны этих треугольников ( они лежат против равных углов) :
AH : AB = AN : AC
АС и АВ - стороны ΔАВС , а AN и AH - стороны ΔАNH .
Угол ∠А - общий для этих треугольников .
Получили, что в треугольниках ΔАВС и ΔАNH имеются две пары пропорциональных сторон и общий угол между этими сторонами .
Значит эти треугольники подобны по 2 признаку подобия треугольников : ΔANH ~ ΔABC .
Замечание . Так как из ΔАВH следует, что AH/AB = cosA , а из ΔАNС следует, что AN/AC = cosA , то коэффициент пропорциональности равен k = cosA .
Если рассматривать не остроугольный треугольник, а тупоугольный, то доказательство факта подобия треугольников аналогично , хотя основания высот треугольника падают на продолжения сторон треугольника .
