Question

Частица массы m1 налетает на шар массы m2. Направление ее дви- жения составляет угол α с нормалью к поверхности шара. Под каким углом к этой нормали отскочит от шара частица, если шар сначала покоился, а удар упругий?

Answer 1

Направим ось Ox параллельно нормали к поверхности шара;
Силы взаимодействия между шаром и частицей направлены параллельно этой оси. Поэтому шар приобретет скорость только вдоль этой же оси, но не начинает вращаться.

Запишем закон сохранения импульса в проекциях на Ox и Oy:

$p_1\cos\alpha = p_2-p_1'\cos\beta\\p_1\sin\alpha = p_1'\sin\beta$

Где $p_1$ - импульс частицы до удара $p_1'$ - после удара, $p_2$ - импульс шара после удара, угол $\beta$ отсчитывается от той же нормали симметрично углу $\alpha$.

Запишем закон сохранения энергии

$\displaystyle\frac{p_1^2}{2m_1} = \frac{p_2^2}{2m_2}+\frac{p_1'^2}{2m_1}\\p_1^2 = p_1'^2+p_2^2\frac{m_1}{m_2}$

Подставим сюда строчки из закона сохранения импульса

$\displaystyle p_1^2 = p_1^2\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\beta}+\frac{m_1}{m_2}\left(p_1\cos\alpha+p_1\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\beta}\right)^2\\\\\sin^2\beta = \sin^2\alpha+\frac{m_1}{m_2}(\sin\beta\cos\alpha+\sin\alpha\cos\beta)^2 = \sin^2\alpha+\frac{m_1}{m_2}\sin^2(\alpha+\beta)\\1-\cos2\beta = 1-\cos2\alpha+\frac{m_1}{m_2}(1-\cos(2\alpha+2\beta))$

$\displaystyle\cos2\alpha = \cos2\beta+\frac{m_1}{m_2}(1-\cos2\alpha\cos2\beta+\sin2\alpha\sin2\beta)\\\left(\frac{m_2}{m_1}-\cos2\alpha\right)\cos2\beta+\sin2\alpha\sin2\beta=\frac{m_2}{m_1}\cos2\alpha-1$

$A\cos2\beta+B\sin2\beta = C$

Выполним универсальную тригонометрическую подстановку
$\cos2\beta = (1-u^2)/(1+u^2)\qquad \sin2\beta = 2u/(1+u^2)$

где $u = \tan\beta$
$\displaystyle A(1-u^2)+2Bu = C(1+u^2)\\(C+A)u^2-2Bu +C-A=0\\D/4 = B^2-C^2+A^2\\u = \frac{B\pm\sqrt{A^2+B^2-C^2}}{(A+C)}\\\tan\beta = \frac{\sin2\alpha\pm\sqrt{(m_2/m_1-\cos2\alpha)^2+\sin^22\alpha-(m_2/m_1\cos2\alpha-1)^2}}{(m_2/m_1-1)(1+\cos2\alpha)}$

$\displaystyle\tan\beta = \frac{\sin2\alpha\pm\sqrt{\sin^22\alpha+\frac{m_2^2}{m_1^1}\sin^22\alpha-\sin^22\alpha}}{(m_2/m_1-1)(1+\cos2\alpha)}\\\\\tan\beta = \frac{(m_2+m_1)\sin2\alpha}{(m_2-m_1)(1+\cos2\alpha)} = \frac{m_2+m_1}{m_2-m_1}\tan\alpha$

Мы выбираем знак + для дискриминанта, поскольку в противном случае ответ получается не зависящим от соотношения масс. При $m_1=m_2$ угол $\beta=\pi/2$