На хокейному полі лежать три шайби. Хокеїст б'є по одній з них так, що вона пролітає між двома іншими. Так він робить 2003 рази. Чи можуть після цього всі шайби залишитися на початкових місцях?
10. По колу написано декілька чисел. Серед добутків сусідніх чисел рівно 5 відємних. Доведіть, що принаймні одне з чисел рівне 0.
11. Уздовж паркану ростуть 8 кущів малини. Число ягід на сусідніх кущах відрізняється на 1. Чи може на всіх кущах разом бути 2007 ягід?
Ответы
10. Розглянемо добуток трьох сусідніх чисел: a, b, c. Якщо всі вони позитивні або всі від'ємні, то добуток є позитивним. Якщо два з трьох від'ємні, то добуток є негативним. Оскільки ми маємо 2003 добутки, і всі 2003 добутки від'ємні, це означає, що всі числа мають бути від'ємними. Проте, якщо всі числа від'ємні, то і їх добуток також від'ємний. Це суперечить умові, що всі добутки додатні або нейтральні. Отже, принаймні одне з чисел має бути рівним 0.
11. Розглянемо кущі малини. Назвемо їх кущами 1, 2, ..., 8. Нехай n буде кількістю ягід на кущу 1. Тоді кущ 2 має n + 1 ягоду, кущ 3 має n + 2 ягоди і так далі до куща 8, який має n + 7 ягод. Таким чином, загальна кількість ягід на всіх кущах відповідатиме:
n + (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + 7) = 8n + 28
Ми хочемо, щоб ця кількість дорівнювала 2007:
8n + 28 = 2007
8n = 1979
n не є цілим числом, тобто неможливо досягти 2007 ягід, якщо на кожному кущі різна кількість ягід, тому відповідь "ні".