Question

Два велосипедиста одновременно стартовали по кольцевому маршруту с одного места в разных направлениях, и девятая их встреча впервые произошла в месте старта. Найдите, во сколько раз скорость одного велосипедиста больше скорости другого.

Answer 1

Назовем первым велосипедистом того, у кого скорость больше. Тогда до первой встречи второй велосипедист пройдет некоторое расстояние $d < S/2$, а первый $S-d > S/2$, где $S$ - длина круга. Очевидно, что от первой встречи до второй велосипедист с номером два пройдет еще $d$ в своем направлении а велосипедист с номером один еще $S-d$ в своем и так далее. К моменту девятой встречи второй велосипедист пройдет расстояние $9d$, и это будет составлять целое число кругов, при этом $d,\ 2d,\ 3d... \ 8d$ не должны по условию составлять целое число кругов.
Итак

$9d = n_2S\qquad d = n_2S/9 < S/2$

Отсюда мы понимаем, что $n_2 < 4.5$, то есть в принципе может быть 1 2 3 или 4.

При этом числа $d,\ 2d,\ 3d... \ 8d$ образуют ряд $n_2S/9,\ 2n_2S/9,\ ...,\ 8n_2S/9$

Нам не подходит $n_2=3$, поскольку $3n_2S/9 = S$ - целое число кругов. Зато подходят все прочие варианты, в которых второй велосипедист проедет 1, 2 или 4 полных круга соответственно.
Ну и наконец, так как расстояния $d$ и $S-d$ велосипедисты проходят за одинаковое время, мы получим

$\displaystyle \frac{d}{v_2} = \frac{S-d}{v_1}\\\\\frac{v_1}{v_2} = \frac{S}{d}-1$
Отсюда получается три возможных варианта для $v_1/v_2$, а именно $8$, $4.5$ и $1.25$ соответственно

Детализация пройденных велосипедистами расстояний (до 1й встречи, до 2й встречи...до9й встречи)

Вариант а)
Отрезки второго велосипедиста
$S/9, 2S/9, 3S/9, 4S/9, 5S/9, 6S/9, 7S/9, 8S/9, S$
Отрезки первого велосипедиста
$8S/9, 16S/9, 24S/9, 32S/9, 40S/9, 48S/9, 56S/9, 64S/9, 8S$

Вариант б)
Отрезки второго велосипедиста
$2S/9, 4S/9, 6S/9, 8S/9, 10S/9, 12S/9, 14S/9, 16S/9, 2S$
Отрезки первого велосипедиста
$7S/9, 14S/9, 21S/9, 28S/9, 35S/9, 42S/9, 49S/9, 56S/9, 7S$

Вариант в)

Отрезки второго велосипедиста
$4S/9, 8S/9, 12S/9, 16S/9, 20S/9, 24S/9, 28S/9, 32S/9, 4S$
Отрезки первого велосипедиста
$5S/9, 10S/9, 15S/9, 20S/9, 25S/9, 30S/9, 35S/9, 40S/9, 5S$