Question

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8, а двугранный угол, прилежащий к стороне основания, равен 30°.Найдите 3/4 часть боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Для обчислення 3/4 частини бічної поверхні піраміди, спершу треба знайти висоту бічної грані.

За даними, висота піраміди (h) дорівнює 8, а двогранний кут (α) прилеглий до сторони основи дорівнює 30°. Оскільки піраміда правильна, то вона має рівносторонній трикутник у площині основи. Таким чином, кожний кут трикутника дорівнює 60°.

Відомо, що висота трикутника дорівнює \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) раза довжини сторони, тому висота трикутника (h') дорівнює:
\[h' = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a,\]
де \(a\) - довжина сторони основи.

Далі, можна виразити \(a\) через \(h\):
\[8 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a,\]
\[a = \dfrac{16}{\sqrt{3}}.\]

Тепер ми можемо обчислити площу бічної поверхні піраміди (S):
\[S = \dfrac{1}{2} \cdot \text{основа} \cdot \text{висота бічної грані}.\]
Оскільки висота трикутника \(h'\) дорівнює висоті бічної грані піраміди, то:
\[S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{16}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8,\]
\[S = \dfrac{64}{\sqrt{3}}.\]

Тепер, знаючи площу бічної поверхні піраміди, можна обчислити 3/4 цієї площі:
\[3/4 \cdot S = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{64}{\sqrt{3}} = \dfrac{192}{\sqrt{3}} \approx 110.851.\]