Два велосипедисти одночасно стартували кільцевим маршрутом з одного місця в різних напрямках, і дев'ята їхня зустріч вперше відбулася в місці старту.
Знайдіть, у скільки разів швидкість одного велосипедиста більша за швидкість іншого.
Ответы
Ответ:
Отже, можливими значеннями співвідношення швидкостей є: 8, 3.5 і 2. Якщо жодне з цих значень не задовольняє умову задачи, то таке співвідношення не існує. Наприклад, якщо довжина маршруту L дорівнює 10 км, а час t дорівнює 1 годину, то неможливо знайти таке співвідношення v1 і v2, при якому дев’ята зустріч вперше в місце старту.
Пошаговое объяснение:
Нехай швидкість першого велосипедиста дорівнює v1, а швидкість другого - v2. Нехай довжина маршруту дорівнює L. Тоді час, який потрібен першому велосипедисту, щоб проїхати один круг, дорівнює L/v1, а другому - L/v2. За цей час вони зустрінуться два рази: один раз в місці старту, а інший - в протилежній точці маршруту.
Щоб знайти кількість зустрічей за певний час t, потрібно порахувати, скільки кругів проїхав кожен велосипедист за цей час. Це можна зробити, поділивши t на час одного круга. Отже, кількість кругів першого велосипедиста дорівнює t/(L/v1) = tv1/L, а другого - t/(L/v2) = tv2/L. Кожен раз, коли сума цих кількостей є цілим числом, велосипедисти зустрічаються в місці старту. Кожен раз, коли різниця цих кількостей є цілим числом, велосипедисти зустрічаються в протилежній точці. Тому загальна кількість зустрічей дорівнює кількості цілих чисел серед сум і різниць tv1/L і tv2/L.
Задача полягає у тому, щоб знайти таке співвідношення v1 і v2, при якому дев’ята зустріч вперше в місце старту. Це означає, що сума tv1/L і tv2/L повинна бути рівна 9. Оскільки t і L є сталими для даної задачи, можна записати рівняння:
v1 + v2 = 9L/t
З цього рівняння можна виразити v2 через v1:
v2 = 9L/t - v1
Тепер потрібно покласти розглядати два випадки: коли v1 більше за v2 і коли v2 більше за v1.
Якщо v1 більше за v2, то перший велосипедист проїжджає багато кругових маршрутових за час t, а другий - небагато. Це означає, що розглядаються три можливостями:
Перший велосипедист проїхав 8 кругових маршрутових за час t, а другий - 0.Перший велосипедист проїхав 7 кругових маршрутових за час t, а другий - 1.Перший велосипедист проїхав 6 кругових маршрутових за час t, а другий - 2.
У першому випадку, v1 = 8L/t, а v2 = L/t. Тоді швидкість першого велосипедиста у 8 разів більша за швидкість другого.
У другому випадку, v1 = 7L/t, а v2 = 2L/t. Тоді швидкість першого велосипедиста у 3.5 рази більша за швидкість другого.
У третьому випадку, v1 = 6L/t, а v2 = 3L/t. Тоді швидкість першого велосипедиста у 2 рази більша за швидкість другого.
Якщо v2 більше за v1, то другий велосипедист проїжджає багато кругових маршрутових за час t, а перший - небагато. Це означає, що розглядаються три можливостями:
Другий велосипедист проїхав 8 кругових маршрутових за час t, а перший - 0.Другий велосипедист проїхав 7 кругових маршрутових за час t, а перший - 1.Другий велосипедист проїхав 6 кругових маршрутових за час t, а перший - 2.
У першому випадку, v2 = 8L/t, а v1 = L/t. Тоді швидкість другого велосипедиста у 8 разів більша за швидкість першого.
У другому випадку, v2 = 7L/t, а v1 = 2L/t. Тоді швидкість другого велосипедиста у 3.5 рази більша за швидкість першого.
У третьому випадку, v2 = 6L/t, а v1 = 3L/t. Тоді швидкість другого велосипедиста у 2 рази більша за швидкість першого.
Отже, можливими значеннями співвідношення швидкостей є: 8, 3.5 і 2. Якщо жодне з цих значень не задовольняє умову задачи, то таке співвідношення не існує. Наприклад, якщо довжина маршруту L дорівнює 10 км, а час t дорівнює 1 годину, то неможливо знайти таке співвідношення v1 і v2, при якому дев’ята зустріч вперше в місце старту.